BZOJ1004 [HNOI2008] Cards

Description

小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有$3$种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问 Sun 有多少种染色方案, Sun 很快就给出了答案.进一步,小春要求染出$Sr$张红色,$Sb$张蓝色,$Sg$张绝色.他又询问有多少种方案, Sun 想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了$M$种不同的洗牌法,这里他又问 Sun 有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种. Sun 发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以$P$的余数($P$为质数).

Input

第一行输入 $5$ 个整数：$Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)$。$n=Sr+Sb+Sg$。
接下来 $m$ 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用格隔开的整数 $X_1 X_2…X_n$，恰为 $1$ 到 $n$ 的一个排列，表示使用这种洗牌法，第 $i$ 位变为原来的 $X_i$ 位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 $m$ 种洗牌法中的一种代替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output

不同染法除以$P$的余数

Sample Input

1 1 1 2 7
2 3 1
3 1 2

Sample Output

HINT

有 $2$ 种本质上不同的染色法 $RGB$ 和 $RBG$，使用洗牌法 $231$ 一次可得 $GBR$ 和 $BGR$ ，使用洗牌法 $312$ 一次可得 $BRG$ 和 $GRB$。
$100%$ 数据满足 $Max{Sr,Sb,Sg}<=20$。

题解

一道比较基础的$Burnside$题目
这里先介绍一下$Burnside$定理
设$D(a_j)$为在置换$a_j$下不变的元素的个数。 $L$表示本质不同的方案数
则$$L = \frac{1}{|G|}\sum_{j = 1}^{|G|}{D(a_j)}$$

在本题中
我们群的大小为$m+1$
对于每一个置换，我们都可以求出它不变的元素个数
首先求出所有的环，因为我们的环上必须是同一种颜色才能使他这个元素在置换下不变(这里把涂色方案看做是一个元素)
我们求出所有环之后就可以$DP$出方案的个数

!要注意如果要使所有的洗牌法构成一个群，我们必须有一个单位元，也就是存在一个置换使得任意一个置换与他运算完不变
在本题中显然是一下$i->i$的的置换，但这个置换不是读入的，而是要自己加上去的。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return x*f;
}
int MOD; 
const int MAXN = 65;
int a[MAXN];
long long pow_mod(long long a, int b)
{
    long long ans = 1;
    while (b)
    {
        if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
        b >>= 1;
        a = a * a % MOD;
    }
    return ans;
}
int vis[MAXN], st[MAXN];
int dfs(int x, int C)
{
    if (vis[x] == C) return 0;
    vis[x] = C;
    return dfs(a[x], C) + 1;
}
int DP[2][25][25][25];
int main()
{
    int Sr = read(), Sb = read(), Sg = read(), m = read();
    MOD = read();
    int n = Sr + Sb + Sg;
    int Ans = 0;
    memset (vis, -1, sizeof (vis));
    for (int i = 0; i <= m; i++)
    {
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            a[j] = (i == 0 ? (j) : read());
        int cnt = 0;
        for (int j = 1; j <= n; j++)
            if (vis[j] != i)
                st[++cnt] = dfs(j, i);
        memset (DP, 0, sizeof (DP));
        DP[0][Sr][Sb][Sg] = 1;
        int now = 0;
        for (int j = 1; j <= cnt; j++)
        {
            now ^= 1;
            memset(DP[now], 0, sizeof (DP[now]));
            for (int r = 0; r <= Sr; r++)
                for (int b = 0; b <= Sb; b++)
                    for (int g = 0; g <= Sg; g++)
                    {
                        if (r + st[j] <= Sr) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r + st[j]][b][g]) % MOD;
                        if (b + st[j] <= Sb) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r][b + st[j]][g]) % MOD;
                        if (g + st[j] <= Sg) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r][b][g + st[j]]) % MOD;
                    }
        }
        Ans = (DP[now][0][0][0] + Ans) % MOD;
    }
    printf ("%d\n", 1ll * Ans * pow_mod(m + 1, MOD - 2) % MOD);
}