BZOJ1004 [HNOI2008] Cards - NekoMio's Blog

Description#

小春现在很清闲,面对书桌上的N张牌,他决定给每张染色,目前小春只有 $3$ 种颜色:红色,蓝色,绿色.他询问 Sun 有多少种染色方案, Sun 很快就给出了答案.进一步,小春要求染出 $Sr$ 张红色, $Sb$ 张蓝色, $Sg$ 张绝色.他又询问有多少种方案, Sun 想了一下,又给出了正确答案. 最后小春发明了 $M$ 种不同的洗牌法,这里他又问 Sun 有多少种不同的染色方案.两种染色方法相同当且仅当其中一种可以通过任意的洗牌法(即可以使用多种洗牌法,而每种方法可以使用多次)洗成另一种. Sun 发现这个问题有点难度,决定交给你,答案可能很大,只要求出答案除以 $P$ 的余数( $P$ 为质数).

Input#

第一行输入 $5$ 个整数： $Sr,Sb,Sg,m,p(m<=60,m+1<p<100)$ 。 $n=Sr+Sb+Sg$ 。
接下来 $m$ 行，每行描述一种洗牌法，每行有 n 个用格隔开的整数 $X_1 X_2...X_n$ ，恰为 $1$ 到 $n$ 的一个排列，表示使用这种洗牌法，第 $i$ 位变为原来的 $X_i$ 位的牌。输入数据保证任意多次洗牌都可用这 $m$ 种洗牌法中的一种代替，且对每种洗牌法，都存在一种洗牌法使得能回到原状态。

Output#

不同染法除以 $P$ 的余数

Sample Input#

Sample Output#

1
2

HINT#

有 $2$ 种本质上不同的染色法 $RGB$ 和 $RBG$ ，使用洗牌法 $231$ 一次可得 $GBR$ 和 $BGR$ ，使用洗牌法 $312$ 一次可得 $BRG$ 和 $GRB$ 。
$100\%$ 数据满足 $Max{Sr,Sb,Sg}<=20$ 。

题解#

一道比较基础的 $Burnside$ 题目
这里先介绍一下 $Burnside$ 定理
设 $D(a_j)$ 为在置换 $a_j$ 下不变的元素的个数。 $L$ 表示本质不同的方案数
则 $L = \frac{1}{|G|}\sum_{j = 1}^{|G|}{D(a_j)}$

在本题中
我们群的大小为 $m+1$
对于每一个置换，我们都可以求出它不变的元素个数
首先求出所有的环，因为我们的环上必须是同一种颜色才能使他这个元素在置换下不变(这里把涂色方案看做是一个元素)
我们求出所有环之后就可以 $DP$ 出方案的个数

!要注意如果要使所有的洗牌法构成一个群，我们必须有一个单位元，也就是存在一个置换使得任意一个置换与他运算完不变
在本题中显然是一下 $i->i$ 的的置换，但这个置换不是读入的，而是要自己加上去的。

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#include <cstdio>
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#include <cstring>
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#include <algorithm>
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using namespace std;
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inline int read()
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{
7
    int x=0,f=1;char ch=getchar();
8
    while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
9
    while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
10
    return x*f;
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}
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int MOD;
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const int MAXN = 65;
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int a[MAXN];
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long long pow_mod(long long a, int b)
16
{
17
    long long ans = 1;
18
    while (b)
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    {
20
        if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
21
        b >>= 1;
22
        a = a * a % MOD;
23
    }
24
    return ans;
25
}
26
int vis[MAXN], st[MAXN];
27
int dfs(int x, int C)
28
{
29
    if (vis[x] == C) return 0;
30
    vis[x] = C;
31
    return dfs(a[x], C) + 1;
32
}
33
int DP[2][25][25][25];
34
int main()
35
{
36
    int Sr = read(), Sb = read(), Sg = read(), m = read();
37
    MOD = read();
38
    int n = Sr + Sb + Sg;
39
    int Ans = 0;
40
    memset (vis, -1, sizeof (vis));
41
    for (int i = 0; i <= m; i++)
42
    {
43
        for (int j = 1; j <= n; j++)
44
            a[j] = (i == 0 ? (j) : read());
45
        int cnt = 0;
46
        for (int j = 1; j <= n; j++)
47
            if (vis[j] != i)
48
                st[++cnt] = dfs(j, i);
49
        memset (DP, 0, sizeof (DP));
50
        DP[0][Sr][Sb][Sg] = 1;
51
        int now = 0;
52
        for (int j = 1; j <= cnt; j++)
53
        {
54
            now ^= 1;
55
            memset(DP[now], 0, sizeof (DP[now]));
56
            for (int r = 0; r <= Sr; r++)
57
                for (int b = 0; b <= Sb; b++)
58
                    for (int g = 0; g <= Sg; g++)
59
                    {
60
                        if (r + st[j] <= Sr) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r + st[j]][b][g]) % MOD;
61
                        if (b + st[j] <= Sb) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r][b + st[j]][g]) % MOD;
62
                        if (g + st[j] <= Sg) DP[now][r][b][g] = (DP[now][r][b][g] + DP[now ^ 1][r][b][g + st[j]]) % MOD;
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                    }
64
        }
65
        Ans = (DP[now][0][0][0] + Ans) % MOD;
66
    }
67
    printf ("%d\n", 1ll * Ans * pow_mod(m + 1, MOD - 2) % MOD);
68
}