Description
刚刚解决完电力网络的问题, 阿狸又被领导的任务给难住了.
刚才说过, 阿狸的国家有n个城市, 现在国家需要在某些城市对之间建立一些贸易路线, 使得整个国家的任意两个城市都直接或间接的连通. 为了省钱, 每两个城市之间最多只能有一条直接的贸易路径. 对于两个建立路线的方案, 如果存在一个城市对, 在两个方案中是否建立路线不一样, 那么这两个方案就是不同的, 否则就是相同的. 现在你需要求出一共有多少不同的方案.
好了, 这就是困扰阿狸的问题. 换句话说, 你需要求出n个点的简单(无重边无自环)无向连通图数目.
由于这个数字可能非常大, 你只需要输出方案数mod 1004535809(479 * 2 ^ 21 + 1)即可.
Input
仅一行一个整数n(<=130000)
Output
仅一行一个整数, 为方案数 mod 1004535809.
Sample Input
3
Sample Output
4
HINT
对于 100%的数据, n <= 130000
题解
设无向图的生成函数为$G(x)$, 无向联通图的生成函数为$f(x)$
$$g(x) = 2^{C_n^2}$$
枚举无向图是由几个联通图构成的:
$$g(n) = \sum_{i = 1}^{n} { {n - 1} \choose {i - 1} } f(i) G(n - i)$$
$$2^{n \choose 2} = \sum_{i = 1}^{n} { {n - 1} \choose {i - 1} } f(i) 2^{ {n - i} \choose 2}$$
然后两边同时除以 $$(n-1)!$$
$$\frac{2^{n \choose 2} }{(n-1)!} = \sum_{i = 1}^{n} \frac{f(i)}{(i-1)!} \frac{2^{ {n - i} \choose 2} }{(n-i)!}$$
定义函数 $F(x),G(x),C(x)$
$$F(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{(n-1)!}x^n$$
$$G(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n \choose 2} }{n!}x^n $$
$$C(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^{n \choose 2} }{(n-1)!}x^n$$
$$C(x) = F(x)G(x)$$
$$C(x) \equiv F(x)G(x) mod { x^{n+1} }$$
$$F(x) \equiv C(x)G^{-1}(x) mod { x^{n+1} }$$
多项式求逆
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
using namespace std;
inline int read()
{
int x=0,f=1;char ch=getchar();
while (ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
while (ch>='0'&&ch<='9'){x=x*10+ch-'0';ch=getchar();}
return x*f;
}
const int MOD = 1004535809;
const int MAXN = 1 << 18 + 1;
long long pow_mod(long long a, int b)
{
long long ans = 1;
while (b)
{
if (b & 1) ans = ans * a % MOD;
b >>= 1;
a = a * a % MOD;
}
return ans;
}
long long Inv;
int N;
int rev[MAXN];
void FFt(long long *a, int op)
{
long long w, wn, t;
for (int i = 1; i < N; i++)
if (i < rev[i])
swap(a[i], a[rev[i]]);
for (int k = 2; k <= N; k <<= 1)
{
wn = pow_mod(3, op == 1 ? (MOD - 1) / k : MOD - 1 - (MOD - 1) / k);
for (int j = 0; j < N; j += k)
{
w = 1;
for (int i = 0; i < (k >> 1); i++, w = w * wn % MOD)
{
t = a[i + j + (k >> 1)] * w % MOD;
a[i + j + (k >> 1)] = (a[i + j] - t + MOD) % MOD;
a[i + j] = (a[i + j] + t) % MOD;
}
}
}
if (op == -1)
for (int i = 0; i < N; i++)
a[i] = a[i] * Inv % MOD;
}
long long tmp[MAXN];
void Get_Inv(int dep, long long *a, long long *b)
{
if (dep == 1)
return b[0] = pow_mod(a[0], MOD - 2), void();
Get_Inv((dep + 1) >> 1, a, b);
N = 1;
while (N < (dep << 1))
N <<= 1;
Inv = pow_mod(N, MOD - 2);
for (int i = 1; i < N; i++)
if (i & 1)
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (N >> 1);
else
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1);
copy(a, a + dep, tmp);
fill(tmp + dep, tmp + N, 0);
FFt(tmp, 1);
FFt(b, 1);
for (int i = 0; i < N; i++)
b[i] = b[i] * ((2 - b[i] * tmp[i] % MOD + MOD) % MOD) % MOD;
FFt(b, -1);
fill(b + dep, b + N, 0);
}
long long F_Inv[MAXN];
long long F[MAXN];
long long C[MAXN], G[MAXN], G_Inv[MAXN];
int main()
{
int n = read();
F[0] = 1;
for (int i = 1; i <= n; i++)
F[i] = F[i - 1] * i % MOD;
F_Inv[n] = pow_mod(F[n], MOD - 2);
for (int i = n - 1; i >= 0; i--) F_Inv[i] = F_Inv[i + 1] * (i + 1) % MOD;
for (int i = 0; i <= n; i++)
G[i] = (i < 2) ? (1) : pow_mod(2, 1ll * i * (i - 1) / 2 % (MOD - 1)) * F_Inv[i] % MOD;
for (int i = 0; i <= n; i++) C[i] = i * G[i] % MOD;
Get_Inv(n + 1, G, G_Inv);
N = 1;
while (N <= n << 1)
N <<= 1;
Inv = pow_mod(N, MOD - 2);
for (int i = 1; i < N; i++)
if (i & 1)
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1) | (N >> 1);
else
rev[i] = (rev[i >> 1] >> 1);
FFt(G_Inv, 1), FFt(C, 1);
for (int i = 0; i < N; i++) C[i] = C[i] * G_Inv[i] % MOD;
FFt(C, -1);
printf ("%d\n", C[n] * F[n - 1] % MOD);
// while (1);
}